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Wie ein Gewinn von 2 € die Leiter hinaufsteigt
Fünf Stufen, jede verdoppelt: wie die Chance mit jeder Stufe sinkt, warum der Erwartungswert bei fairer Chance gleich bleibt und was ein knapp unfairer Schritt kostet.
Ein Gewinn von 2 € steht unten, fünf Stufen verdoppeln ihn bis 64 €.
Die Risikoleiter ist ein Zusatzspiel nach einem Gewinn: Sie setzen den gewonnenen Betrag ein, um ihn Stufe für Stufe zu erhöhen, oder Sie nehmen ihn mit. Das Beispiel hat erfundene, runde Zahlen und beschreibt kein bestimmtes Spiel: Start bei 2 €, fünf Stufen mit 4, 8, 16, 32 und 64 €. Jeder Schritt gelingt mit 50 %, ein verlorener Schritt kostet hier den ganzen Betrag.
Ein Schritt bei 50 %: 4 € oder 0 €, im Mittel genau die eingesetzten 2 €.
Auf der ersten Stufe stehen 2 € gegen einen unsicheren Betrag: Mit 50 % werden daraus 4 €, mit 50 % 0 €. Der Erwartungswert ist 0,5 × 4 € + 0,5 × 0 € = 2,00 €, genau der Betrag, den Sie einsetzen. Fair ist ein Schritt, wenn die Chance dem Verhältnis von jetzigem zu nächstem Betrag entspricht, bei einer Verdopplung also 50 %. Die Leiter tauscht Sicherheit gegen Schwankung, nicht gegen Geld.
Jede Stufe halbiert die Chance und verdoppelt den Betrag: Oben stehen 64 € mit 3,125 %.
Um eine Stufe zu erreichen, müssen alle Schritte darunter gelingen. Bei 50 % je Schritt ist die Chance für Stufe 1 50 %, für Stufe 2 25 %, dann 12,5 %, 6,25 % und für die oberste Stufe 3,125 %, also 1 von 32 Versuchen. Weil sich der Betrag zugleich jedes Mal verdoppelt, bleibt der Erwartungswert auf jeder Stufe bei 2,00 €. Mehr wird der Gewinn durch das Hochspielen nicht.
10.000 Versuche bis ganz oben: 9.695 enden bei 0 €, 305 kommen bei 64 € an.
Das Rechenmodell lässt 10.000 Versuche die ganze Leiter hinaufsteigen, jeden Schritt mit 50 %. Die meisten scheitern früh: 4.961 schon am ersten Schritt, 2.555 am zweiten. Nur 305 Versuche erreichen 64 €, das sind 3,05 %. Im Mittel bringt ein Versuch 1,95 €, nah am sicheren Gewinn von 2 €. Der Durchschnitt stimmt also, aber fast jeder einzelne Versuch endet bei null.
Nach der ersten Stufe mitnehmen: 50 % Totalverlust; ganz nach oben: 96,875 %. Erwartungswert jeweils 2,00 €.
Sie können auf jeder Stufe aussteigen. Wer sich vornimmt, nach Stufe 1 mitzunehmen, verliert in 50 % der Fälle alles, nach Stufe 2 in 75 %, nach Stufe 3 in 87,5 %, nach Stufe 4 in 93,75 % und auf dem Weg ganz nach oben in 96,875 %. Der Erwartungswert bleibt bei jedem Plan 2,00 €. Ein Ausstiegsplan verändert nur, wie oft Sie leer ausgehen und wie hoch der seltene Gewinn ist.
Bei 48 % je Schritt sinkt der Erwartungswert mit jeder Stufe: oben nur noch 1,63 €.
Ist ein Schritt nicht ganz fair, kostet jede Stufe Geld. Mit einer erfundenen Chance von 48 % gelingen fünf Stufen hintereinander nur in 2,55 % der Versuche. Der Erwartungswert sinkt Stufe für Stufe auf 1,92 €, 1,84 €, 1,77 €, 1,70 € und oben 1,63 €. Gegenüber dem sicheren Gewinn von 2 € fehlen dann im Mittel 37 Cent. Liegt die Chance unter fair, wird die Leiter mit jeder Stufe teurer.
Je 100.000 Versuche bis oben: im Mittel 1,98 € bei 50 %, 1,61 € bei 48 %.
Zur Gegenprobe steigen je 100.000 Versuche mit 50 % und mit 48 % die ganze Leiter hinauf. Bei 50 % bringt ein Versuch im Mittel 1,98 €, erwartet waren 2,00 €; oben kamen 3,10 % an. Bei 48 % sind es 1,61 € statt erwarteter 1,63 €, oben kamen 2,52 % an. Die Rechnung hält: Die faire Leiter verteilt den Gewinn nur um, die unfaire verkleinert ihn.