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Craps vom Come-out-Wurf bis zum Point
Zwei Würfel, 36 Paare und eine Runde aus der Zufallsfolge: wie Pass gewinnt oder verliert und woher die 1,41 % Hausvorteil kommen.
36 gleich wahrscheinliche Paare aus zwei Würfeln: Die 7 kommt 6-mal vor, 2 und 12 nur einmal.
Jeder Würfel zeigt 1 bis 6, zusammen ergeben sich 6 × 6 = 36 Paare, jedes gleich wahrscheinlich. Die Augensumme 7 entsteht auf sechs Arten: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4 und jeweils umgekehrt, das sind 16,67 %. Die 6 und die 8 kommen je fünfmal vor, die 2 und die 12 nur einmal. Auf dieser Zählung beruht jede Zahl in den folgenden Schritten.
Come-out-Wurf: 7 oder 11 gewinnt sofort für Pass, 2, 3 oder 12 verliert, der Rest wird Point.
Die Runde beginnt mit dem Come-out-Wurf. Eine 7 oder 11 heißt Natural, Pass gewinnt sofort; das sind 8 von 36 Paaren oder 22,22 %. Eine 2, 3 oder 12 heißt Craps, Pass verliert; 4 von 36 oder 11,11 %. In den übrigen 24 Fällen, also zu 66,67 %, wird die geworfene Summe zum Point, und die Runde geht weiter.
Der erste Wurf der Folge: 1 + 5 = 6. Die 6 wird zum Point.
Die Würfe stammen aus einer Zufallsfolge mit festem Startwert. Gezeigt wird die erste Runde dieser Folge, sie ist nicht ausgesucht. Der Shooter wirft 1 und 5, zusammen 6. Das ist weder Natural noch Craps, also markiert der Croupier die 6 als Point. Ab jetzt zählen für Pass nur noch zwei Summen: die 6 und die 7. Die 6 lässt sich auf 5 von 36 Arten werfen.
Vier Würfe zählen nicht, dann fällt die 7 vor der 6: Pass verliert.
Der Shooter würfelt weiter: 10, 5, 10 und noch einmal 10. Keine dieser Summen entscheidet etwas. Der sechste Wurf zeigt 1 und 6, also 7, bevor die 6 ein zweites Mal kam. Pass verliert, Don't Pass gewinnt. Die 6 lässt sich auf 5 Arten werfen, die 7 auf 6. Darum fällt die 6 nur in 5 von 11 Fällen zuerst, zu 45,45 %.
Alle Wege zusammen: Pass gewinnt mit 244/495 = 49,29 %, der Bank bleiben 1,41 % jedes Einsatzes.
Pass gewinnt auf zwei Wegen: sofort mit einem Natural, 8/36, oder über einen Point, der vor der 7 fällt. Für jeden Point wird die Chance, ihn zu werfen, mit der Chance multipliziert, ihn vor der 7 zu wiederholen; zusammen 134/495. Insgesamt sind es 244/495 = 49,29 %. Ein Euro auf Pass bringt im Mittel 2 € × 244/495 = 0,9859 € zurück. Die fehlenden 1,41 % sind der Hausvorteil.
Ohne die 12 als Unentschieden hätten Sie bei Don't Pass 1,41 % Vorteil gegenüber der Bank.
Don't Pass ist das Spiegelbild von Pass. Ohne Ausnahme gewänne es in 251 von 495 Runden, also zu 50,71 %, und der Vorteil läge bei Ihnen: plus 1,41 %. Deshalb gilt eine 12 im Come-out-Wurf für Don't Pass als unentschieden. Dann gewinnt die Wette in 949 von 1.980 Fällen, verliert in 976, und der Bank bleiben 1,36 % des Einsatzes.
1.000.000 Runden Pass zu 1 €: gemessen 1,38 % Hausvorteil, gerechnet 1,41 %.
Zur Gegenprobe spielt das Rechenmodell 1.000.000 Runden mit je 1 € auf Pass, Wurf für Wurf nach denselben Regeln. Pass gewann 49,31 % der Runden, gerechnet sind 49,29 %. Verloren gingen 1,38 % aller Einsätze statt 1,41 %. Eine Runde dauerte im Mittel 3,38 Würfe, wie die Rechnung ergibt. Die Kurve zeigt, wie stark der gemessene Wert nach einigen hundert Runden noch schwankt.